Wykorzystanie równań liniowych analiza danych z czujników

Opublikowano: 19.11.2024

Układy równań liniowych mimo, że nie pozorne to sąnarzędziami matematycznymi, które znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i techniki.
Pozwalają na opisanie zależności między różnymi wielkościami w sposób prosty i efektywny. W kontekście analizy danych, takich jak pomiary z czujników, układy równań liniowych mogą być wykorzystywane do modelowania wpływu różnych zmiennych na określony wynik lub zjawisko.

Poniżej postaram się przedstawić przykład wraz z prostym skryptem w Python, który wykorzystując dane z czterech stacji sprawdzających jakość powietrza rozmieszczonych w różnych częściach miasta, będzie w stanie szacować jakość powietrza w punkcie piatym, gdzie takiej stacji nie ma ale wykonaliśmy jednorazowo 4 pomiary podręcznym czujnikiem w odstępach czasu.

Założenia:

Każdy z czujników mierzy stężenie CO2 w swojej lokalizacji (ppm). Dane pomiarowe prezentują się następująco w rónych mometach czasu:

Dla punktu E również mamy zmierzone wartości stężenia CO2 w w tych samych momentach czasu jak wyżej:

Rozwiązaniem układu będą współczynniki $x_1,x_2,x_3,x_4$, które określają wpływ danych z każdego czujnika na przewidywaną wartość E.

Dla podanych danych, układ równań liniowych można zapisać w postaci:
$$\{\begin{array}{ll}{x}_1\cdot 400.45+x_2\cdot 420.432+x_3\cdot 450.01+x_4\cdot 470.6433& =451\\ x_1\cdot 405.2+x_2\cdot 415.43+x_3\cdot 415.43+x_4\cdot 465.689& =475.0345\\ x_1\cdot 410.034+x_2\cdot 430.194+x_3\cdot 460.423+x_4\cdot 480.9& =490.12\\ x_1\cdot 420.1+x_2\cdot 440.634+x_3\cdot 470.034+x_4\cdot 49.85& =510.4\end{array}$$

Lub w zapisie macierzowym:
$$\left[\begin{array}{cccc}400.45& 420.432& 450.01& 470.6433\\ 405.2& 415.43& 455& 465.689\\ 410.034& 430.194& 460.423& 480.9\\ 420.1& 440.634& 470.034& 49.85\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}451\\ 475.0345\\ 490.12\\ 510.4\end{array}\right]$$

Pisanie programu

Program rozwiązujący układ równań:


Rozwiązanie po uruchomieniu:




Dostaliśnmy cztery współczynniki które możemy wykrozystać do obliczania jakości powietrza w punkcie E na podstawie odczytów z punktów A, B, C oraz D.
Aby sprawdzić czy wszystko sięzgadza do programu poniżej wpisałem takie same dane z czujników (A, B, C, D) jak w t1 więc jako wynik powiniśmy otrzymać to co było w t1 dla punktu E.


Jako wynik otrzymujemy dokładnie 451 ppm więc wszystko się zgadza i możemy teraz szacować jakość powietrza w punkcie E na podstawie wartości czterech w innych częściach miasta.