Zrozum pola wektorowe, dywergencję, rotację i twierdzenie Stokesa poprzez interaktywne wizualizacje.
Teoretyczne podstawy i przykłady obliczeniowe dla dywergencji, rotacji, cyrkulacji i twierdzenia Stokesa.
Dywergencja, oznaczana jako $\text{div}(\mathbf{F})$ lub $\nabla \cdot \mathbf{F}$, to operator skalarny, który mierzy "źródłowość" pola wektorowego w danym punkcie. Mówi nam, ile strumienia pola "wypływa" (dywergencja dodatnia) lub "wpływa" (dywergencja ujemna) do nieskończenie małego obszaru wokół punktu.
Dla pola wektorowego w 2D, $\mathbf{F} = [P(x, y), Q(x, y)]$, wzór na dywergencję to:
\[ \text{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} \]Przykład 1: Pole "Źródłowe" (F = [x, y])
Mamy pole $\mathbf{F}(x, y) = [x, y]$. Zatem $P(x, y) = x$ oraz $Q(x, y) = y$.
Obliczamy pochodne cząstkowe:
\[ \frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1 \] \[ \frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y) = 1 \]Sumujemy je, aby otrzymać dywergencję:
\[ \text{div}(\mathbf{F}) = 1 + 1 = 2 \]Wynik to stała wartość dodatnia ($2$), co oznacza, że w każdym punkcie pole zachowuje się jak źródło (jak w Twojej wizualizacji na kanwie).
Przykład 2: Pole "Wirujące" (F = [-y, x])
Mamy pole $\mathbf{F}(x, y) = [-y, x]$. Zatem $P(x, y) = -y$ oraz $Q(x, y) = x$.
Obliczamy pochodne cząstkowe:
\[ \frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-y) = 0 \] \[ \frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x) = 0 \]Sumujemy je:
\[ \text{div}(\mathbf{F}) = 0 + 0 = 0 \]Wynik to $0$. Oznacza to, że pole wirujące jest "bezźródłowe". W każdym punkcie tyle samo strumienia wpływa, co wypływa. Pomyśl o tym jak o wodzie w wirze - woda krąży, ale jej nie przybywa ani nie ubywa w danym miejscu.
Rotacja, oznaczana jako $\text{curl}(\mathbf{F})$ lub $\nabla \times \mathbf{F}$, to operator wektorowy, który mierzy "wirowość" pola w danym punkcie. W 2D upraszcza się on do wartości skalarnej, która mówi nam, jak bardzo (i w którą stronę) obracałby się mały "wiatraczek" umieszczony w tym punkcie.
Dla pola wektorowego w 2D, $\mathbf{F} = [P, Q]$, wzór na rotację to (technicznie jest to składowa $z$ rotacji w 3D):
\[ \text{curl}(\mathbf{F})_z = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \]Przykład 1: Pole "Wirujące" (F = [-y, x])
Mamy pole $\mathbf{F}(x, y) = [-y, x]$. Zatem $P(x, y) = -y$ oraz $Q(x, y) = x$.
Obliczamy potrzebne pochodne cząstkowe:
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1 \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-y) = -1 \]Odejmujemy je zgodnie ze wzorem:
\[ \text{curl}(\mathbf{F})_z = (1) - (-1) = 2 \]Wynik to stała wartość dodatnia ($2$). Oznacza to, że pole wiruje w każdym punkcie z taką samą "siłą" przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (co widziałeś na wiatraczku w swojej aplikacji).
Przykład 2: Pole "Źródłowe" (F = [x, y])
Mamy pole $\mathbf{F}(x, y) = [x, y]$. Zatem $P(x, y) = x$ oraz $Q(x, y) = y$.
Obliczamy pochodne:
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(y) = 0 \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x) = 0 \]Odejmujemy je:
\[ \text{curl}(\mathbf{F})_z = 0 - 0 = 0 \]Wynik to $0$. Oznacza to, że pole źródłowe jest "bezwirowe". Wiatraczek umieszczony w tym polu rozciągałby się, ale nie obracał.
Cyrkulacja to całka liniowa pola wektorowego $\mathbf{F}$ wzdłuż zamkniętej krzywej $C$. Mierzy ona "całkowity obrót" lub "pracę" wykonaną przez pole nad cząstką poruszającą się po tej krzywej.
Wzór ogólny to:
\[ \text{Cyrkulacja} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \]Aby to obliczyć, musimy sparametryzować krzywą $C$ za pomocą $\mathbf{r}(t)$ dla $t \in [a, b]$, a następnie obliczyć całkę:
\[ \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \,dt \]Przykład: Cyrkulacja pola F = [-y, x] wokół okręgu jednostkowego
Niech nasze pole to $\mathbf{F}(x, y) = [-y, x]$. Niech nasza krzywa $C$ to okrąg jednostkowy o środku w (0,0), sparametryzowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
1. Parametryzacja krzywej $\mathbf{r}(t)$: Okrąg jednostkowy ($r=1$) możemy opisać jako:
\[ \mathbf{r}(t) = [\cos(t), \sin(t)] \quad \text{dla} \quad t \in [0, 2\pi] \]Gdzie $x(t) = \cos(t)$ i $y(t) = \sin(t)$.
2. Obliczenie $\mathbf{r}'(t)$ (pochodna $\mathbf{r}(t)$ po $t$):
\[ \mathbf{r}'(t) = [-\sin(t), \cos(t)] \]3. Obliczenie $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))$ (wstawienie parametryzacji do wzoru na pole):
Mieliśmy $\mathbf{F} = [-y, x]$. Wstawiamy $y = \sin(t)$ i $x = \cos(t)$:
\[ \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = [-\sin(t), \cos(t)] \]4. Obliczenie iloczynu skalarnego $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)$:
\[ \mathbf{F} \cdot \mathbf{r}' = [-\sin(t), \cos(t)] \cdot [-\sin(t), \cos(t)] \] \[ = (-\sin(t))(-\sin(t)) + (\cos(t))(\cos(t)) \] \[ = \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 \]5. Obliczenie całki:
\[ \text{Cyrkulacja} = \int_0^{2\pi} (1) \,dt \] \[ = [t]_0^{2\pi} = 2\pi - 0 = 2\pi \]Cyrkulacja tego pola wokół okręgu jednostkowego wynosi $2\pi$. Jest dodatnia, co oznacza, że pole "pomaga" cząstce krążyć przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Twierdzenie Stokesa (w 2D znane też jako twierdzenie Greena) łączy cyrkulację (całkę po zamkniętym brzegu $C$) z rotacją (całką podwójną po powierzchni $D$ ograniczonej przez ten brzeg).
Wzór twierdzenia:
\[ \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_D (\text{curl} \, \mathbf{F})_z \,dA \]Oznacza to, że "całkowity wir na brzegu" (lewa strona) jest równy "sumie małych wirów wewnątrz" (prawa strona).
Przykład: Weryfikacja twierdzenia dla F = [-y, x] na dysku jednostkowym
Użyjemy tego samego pola $\mathbf{F} = [-y, x]$ i jako naszą powierzchnię $D$ weźmiemy dysk jednostkowy (koło o promieniu 1), którego brzegiem $C$ jest okrąg jednostkowy.
Lewa strona (Cyrkulacja):
Obliczyliśmy to w poprzedniej sekcji. Wynik to:
\[ \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 2\pi \]Prawa strona (Całka z Rotacji):
Obliczyliśmy już rotację tego pola. Wynik to stała wartość:
\[ (\text{curl} \, \mathbf{F})_z = 2 \]Teraz musimy obliczyć całkę podwójną tej wartości po powierzchni dysku jednostkowego $D$:
\[ \iint_D (2) \,dA \]Ponieważ $2$ to stała, możemy ją wyciągnąć przed całkę:
\[ 2 \cdot \iint_D 1 \,dA \]Całka $\iint_D 1 \,dA$ to po prostu pole powierzchni obszaru $D$. Nasz obszar $D$ to koło o promieniu $r=1$.
Pole koła dane jest wzorem $A = \pi r^2$.
\[ \text{Pole}(D) = \pi \cdot (1)^2 = \pi \]Więc nasza całka po prawej stronie wynosi:
\[ \iint_D (\text{curl} \, \mathbf{F})_z \,dA = 2 \cdot (\pi) = 2\pi \]Weryfikacja:
Porównujemy obie strony:
\[ \text{Lewa strona} = 2\pi \] \[ \text{Prawa strona} = 2\pi \]Obie strony są równe, co potwierdza działanie twierdzenia Stokesa dla tego przypadku.